Cho a, b là các số thực dương thỏa mãn a+b\(\le\)1. Tìm Min \(a^2+\frac{1}{a^2}+b^2+\frac{1}{b^2}\)
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
PT
2
11 tháng 9 2019
Cái này chỉ cầm canh theo điểm rơi a=b=\(\frac{1}{2}\) là được
Áp dụng bất đẳng thức AM-GM:\(a^2+\frac{1}{4}\ge a;b^2+\frac{1}{4}\ge b\)
Suy ra \(a^2+b^2\ge a+b-\frac{1}{2}\)
Do đó \(S=a^2+\frac{1}{a}+b^2+\frac{1}{b}\ge a+b+\frac{1}{a}+\frac{1}{b}-\frac{1}{2}\ge a+b+\frac{4}{a+b}-\frac{1}{2}\)
\(=\left(a+b\right)+\frac{1}{a+b}+\frac{3}{a+b}-\frac{1}{2}\ge2+\frac{3}{a+b}-\frac{1}{2}\ge2+3-\frac{1}{2}=\frac{9}{2}\)
Vậy MinS=\(\frac{9}{2}\)
T
12 tháng 9 2019
Một cách khác:
\(A=a^2+\frac{1}{8a}+\frac{1}{8a}+b^2+\frac{1}{8b}+\frac{1}{8b}+\frac{3}{4}\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\right)\)
\(\ge3\sqrt[3]{a^2.\frac{1}{8a}.\frac{1}{8a}}+3\sqrt[3]{b^2.\frac{1}{8b}.\frac{1}{8b}}+\frac{3}{4}\left(\frac{4}{a+b}\right)\)
\(\ge\frac{3}{4}+\frac{3}{4}+\frac{3}{4}.4=\frac{9}{2}\)
Vậy..
KN
23 tháng 1 2021
\(\text{⋄}\)Dễ có: \(B\ge\left(3+\frac{4}{a+b}\right)\left(3+\frac{4}{b+c}\right)\left(3+\frac{4}{c+a}\right)\)
\(\text{⋄}\)Đặt \(b+c=x;c+a=y;a+b=z\left(x,y,z>0\right)\)thì \(a=\frac{y+z-x}{2};b=\frac{z+x-y}{2};c=\frac{x+y-z}{2}\)
Giả thiết được viết lại thành: \(x+y+z\le3\)và ta cần tìm giá trị nhỏ nhất của \(\left(3+\frac{4}{x}\right)\left(3+\frac{4}{y}\right)\left(3+\frac{4}{z}\right)\)
\(\text{⋄}\)Ta có: \(\left(3+\frac{4}{x}\right)\left(3+\frac{4}{y}\right)\left(3+\frac{4}{z}\right)=27+36\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\right)+48\left(\frac{1}{xy}+\frac{1}{yz}+\frac{1}{zx}\right)+\frac{64}{xyz}\)\(\ge27+36.\frac{9}{x+y+z}+48.\frac{27}{\left(x+y+z\right)^2}+64.\frac{27}{\left(x+y+z\right)^3}\ge343\)
Đẳng thức xảy ra khi x = y = z = 1 hay a = b = c = 1/2
31 tháng 10 2018
Áp dụng BĐT AM-GM ta có :
\(\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}\ge\frac{1}{ab}+\frac{1}{bc}+\frac{1}{ca}=\frac{a+b+c}{abc}\)
\(=\frac{9}{abc\left(a+b+c\right)}\ge\frac{27}{\left(ab+bc+ca\right)^2}\)
Mặt khác theo BĐT AM-GM có :
\(\left(a^2+b^2+c^2\right)\left(ab+bc+ca\right)^2\le\left(\frac{a^2+b^2+c^2+2\left(ab+bc+ca\right)^3}{3}\right)=27\)
\(\Rightarrow\frac{27}{\left(ab+bc+ca\right)^2}\ge a^2+b^2+c^2\)
Đặt \(t=a^2+b^2+c^2\ge\frac{\left(a+b+c\right)^2}{3}=3\)
Xét \(t+\frac{1}{t}=\frac{1}{9}+\frac{1}{t}+\frac{81}{9}.3=\frac{10}{3}\)
Vậy \(MinP=\frac{10}{3}\Leftrightarrow a=b=c=-1\)
31 tháng 10 2018
Sửa lại chút , vội quá nên đánh lỗi .
Xét \(t+\frac{1}{t}=\frac{1}{9}+\frac{1}{t}+\frac{8t}{9}\ge2\sqrt{\frac{t}{9}.\frac{1}{t}}+\frac{8}{9}.3=\frac{10}{3}\)
\(\Rightarrow MinP=\frac{10}{3}\Leftrightarrow a=b=c=1\)
N
6 tháng 12 2019
Ta co:
\(M=\frac{9}{1-2\left(ab+bc+ca\right)}+\frac{2}{abc}=\frac{9}{\left(a+b+c\right)^2-2\left(ab+bc+ca\right)}+\frac{2}{abc}=\frac{9}{a^2+b^2+c^2}+\frac{2}{abc}\)
Ta lai co:
\(a+b+c=1\Leftrightarrow\frac{1}{ab}+\frac{1}{bc}+\frac{1}{ca}=\frac{1}{abc}\)
\(\Rightarrow M=\frac{9}{\Sigma_{cyc}a^2}+\Sigma_{cyc}\frac{2}{ab}\ge\frac{9}{\Sigma_{cyc}a^2}+\frac{18}{\Sigma_{cyc}ab}\left(1\right)\)
\(VT_{\left(1\right)}=\frac{9}{\Sigma_{cyc}a^2}+\frac{1}{\Sigma_{cyc}ab}+\frac{1}{\Sigma_{cyc}ab}+\frac{16}{\Sigma_{cyc}ab}\ge\frac{\left(3+1+1\right)^2}{\Sigma_{cyc}a^2+2\Sigma_{cyc}ab}+\frac{16}{\frac{\left(\Sigma_{cyc}a\right)^2}{3}}=\text{ }\frac{25}{\left(\Sigma_{cyc}a\right)^2}+48=\text{ }73\)
Dau '=' xay ra khi \(\text{ }a=b=c=\frac{1}{3}\)
7 tháng 12 2019
@my-friend
\(M\ge\frac{9}{a^2+b^2+c^2}+\frac{36}{2\left(ab+bc+ca\right)}\ge\frac{\left(3+6\right)^2}{a^2+b^2+c^2+2\left(ab+bc+ca\right)}=81\)
Dấu "=" xảy ra ra khi \(\hept{\begin{cases}\frac{3}{a^2+b^2+c^2}=\frac{6}{2\left(ab+bc+ca\right)}\\a+b+c=1\end{cases}}\Leftrightarrow a=b=c=\frac{1}{3}\)
31 tháng 8 2019
\(sigma\frac{a}{1+b-a}=sigma\frac{a^2}{a+ab-a^2}\ge\frac{\left(a+b+c\right)^2}{a+b+c+\frac{\left(a+b+c\right)^2}{3}-\frac{\left(a+b+c\right)^2}{3}}=1\)
Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=c=\frac{1}{3}\)
\(\frac{1}{b^2+c^2}=\frac{1}{1-a^2}=1+\frac{a^2}{b^2+c^2}\le1+\frac{a^2}{2bc}\)
Tương tự cộng lại quy đồng ta có đpcm
Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=c=\frac{1}{\sqrt{3}}\)
30 tháng 9 2019
\(\frac{1}{a^2+b^2+2}+\frac{1}{b^2+c^2+2}+\frac{1}{c^2+a^2+2}\le\frac{3}{4}\)
\(\Leftrightarrow\frac{a^2+b^2}{a^2+b^2+2}+\frac{b^2+c^2}{b^2+c^2+2}+\frac{c^2+a^2}{c^2+a^2+2}\ge\frac{3}{2}\)
Áp dụng BĐT Cauchy - Schwarz ta có :
\(VT\ge\frac{\left(\sqrt{a^2+b^2}+\sqrt{b^2+c^2}+\sqrt{c^2+a^2}\right)^2}{2\left(a^2+b^2+c^2\right)+6}\)
\(\ge\frac{\sqrt{3\left(a^2b^2+b^2c^2+a^2c^2\right)}+2\left(a^2+b^2+c^2\right)}{a^2+^2+c^2}\)
\(\ge\frac{2\left(a^2+b^2+c^2\right)+ab+bc+ca}{a^2+b^2+c^2}\)
Ta cần chứng minh :
\(\frac{2\left(a^2+b^2+c^2\right)+ab+bc+ca}{a^2+b^2+c^2}\ge\frac{3}{2}\)
\(\Leftrightarrow\left(a+b+c\right)^2\ge0\) luôn đúng
Chúc bạn học tốt !!!
T
30 tháng 9 2019
hoang viet nhat copy nhớ ghi nguồn nha bạn:))Link
Mà quan trọng là copy mà bạn có hiểu không là chuyện khác:) Bạn hãy giải thích tại sao:
\(\frac{\left(\sqrt{a^2+b^2}+\sqrt{b^2+c^2}+\sqrt{c^2+a^2}\right)^2}{2\left(a^2+b^2+c^2\right)+6}\ge\frac{\sqrt{3\left(a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2\right)}+2\left(a^2+b^2+c^2\right)}{a^2+^2+c^2}\)
RR
14 tháng 5 2018
Ta có : \(a^2+\frac{1}{9}\ge\frac{2}{3}a\)
Suy ra
\(VT\le\Sigma\left(\frac{a}{\left(a^2+1\right)}\right)\le\Sigma\frac{a}{\frac{2}{3}a+\frac{8}{9}}=\Sigma\frac{9a}{6a+8}=\frac{9}{2}-\Sigma\frac{6}{4+3a}\le\frac{9}{2}-\frac{54}{12+3\left(a+b+c\right)}=\frac{9}{10}\)
Đẳng thức xảy ra <=> \(a=b=c=\frac{1}{3}\)
T
10 tháng 2 2019
Cách khác nhá.
Lời giải
Ta sẽ c/m:\(\frac{a}{a^2+1}\le\frac{18}{25}a+\frac{3}{50}\)
Thật vậy,ta có: BĐT \(\Leftrightarrow\frac{a}{a^2+1}-\frac{18}{25}a-\frac{3}{50}\le0\)
Thật vậy:\(VT=\frac{-\left(4a+3\right)\left(3a-1\right)^2}{50\left(a^2+1\right)}\le0\forall x\)
Vậy \(\frac{a}{a^2+1}\le\frac{18}{25}a+\frac{3}{50}\).Thiết lập hai BĐT còn lại tương tự và cộng theo vế:
\(VT\le\frac{18}{25}\left(a+b+c\right)+\frac{9}{50}=\frac{9}{10}^{\left(đpcm\right)}\)
Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=c=\frac{1}{3}\)
TA
22 tháng 6 2017
Kurosaki Akatsu giải thế thì đề bài cho \(b^2+c^2\le a^2\) để làm gì?
22 tháng 6 2017
Áp dụng bất đẳng thức AM-GM ta có :
\(P=\frac{1}{a^2}\left(b^2+c^2\right)+a^2\left(\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}\right)\)
\(P=\frac{b^2}{a^2}+\frac{c^2}{a^2}+\frac{a^2}{b^2}+\frac{a^2}{c^2}\ge4.\sqrt[4]{\frac{b^2}{a^2}.\frac{c^2}{a^2}.\frac{a^2}{b^2}.\frac{a^2}{c^2}}=4.1=4\)
=> \(Min_P=4\)
6 tháng 2 2021
Áp dụng BĐT Cauchy - Schwarz và Cauchy ta có:
\(P=\frac{1}{a^2}\left(b^2+c^2\right)+a^2\left(\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}\right)\)
\(\ge\frac{b^2+c^2}{a^2}+a^2\cdot\frac{9}{b^2+c^2}\) (Cauchy - Schwarz)
\(=\left(\frac{b^2+c^2}{a^2}+\frac{a^2}{b^2+c^2}\right)+8\cdot\frac{a^2}{b^2+c^2}\)
\(\ge2\sqrt{\frac{b^2+c^2}{a^2}\cdot\frac{a^2}{b^2+c^2}}+8\cdot\frac{b^2+c^2}{b^2+c^2}\) (BĐT Cauchy)
\(=2+8=10\)
Dấu "=" xảy ra khi: \(a=b\sqrt{2}=c\sqrt{2}\)
Vậy Min(P) = 10 khi \(a=b\sqrt{2}=c\sqrt{2}\)
1. Không đưa câu hỏi linh tinh lên diễn đàn, chỉ đưa các bài mà mình không giải được hoặc các câu hỏi hay lên diễn đàn;
2. Không trả lời linh tinh, không phù hợp với nội dung câu hỏi trên diễn đàn.
3. Không "Đúng" vào các câu trả lời linh tinh nhằm gian lận điểm hỏi đáp.
Các bạn vi phạm 3 điều trên sẽ bị giáo viên của Online Math trừ hết điểm hỏi đáp, có thể bị khóa tài khoản hoặc bị cấm vĩnh viễn không đăng nhập vào trang web.